أسئلة: القطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث

تُعرَّف القطعة المتوسطة بأنها قطعة مستقيمة تصل بين أحد رؤوس المثلث ونقطة منتصف الضلع المقابل لذلك الرأس.

تتقاطع القطع المتوسطة دائمًا في نقطة واحدة مشتركة تقع دائمًا في الجزء الداخلي للمثلث، وتُعرف باسم "مركز المثلث".

تنص نظرية مركز المثلث على أن المسافة من الرأس إلى المركز ($AP$) تساوي ثلثي الطول الكلي للقطعة المتوسطة ($AD$). لذا، $AP = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 21 = 14\text{ cm}$.

تتقاطع المستقيمات التي تحوي ارتفاعات أي مثلث في نقطة واحدة مشتركة تُسمى "ملتقى الارتفاعات".

الارتفاع يجب أن يمر برأس المثلث ويكون عمودياً على الضلع المقابل، لكنه لا ينصف هذا الضلع بالضرورة إلا في حالات خاصة مثل المثلث متطابق الضلعين أو متطابق الأضلاع.

في المثلث قائم الزاوية، يلتقي الارتفاعان الساقطان من الرأسين الحادين عند رأس الزاوية القائمة نفسه، وبالتالي فإن ملتقى الارتفاعات يقع على المثلث وتحديداً عند رأس الزاوية القائمة.

النسبة بين طولي جزأي القطعة المتوسطة (الجزء الأكبر من الرأس إلى المركز، والجزء الأصغر من المركز إلى الضلع) هي دائماً $2:1$، مما يعني أن الجزء الأكبر ($AP$) يساوي ضعف الجزء الأصغر ($PD$). إذن، $AP = 2 \times PD = 2 \times 6 = 12\text{ cm}$.

في المثلث متطابق الأضلاع فقط، تنطبق جميع القطع المستقيمة الخاصة على بعضها البعض. أي أن القطعة المتوسطة هي نفسها الارتفاع، وهي نفسها العمود المنصف، وهي نفسها منصف الزاوية.

العمود المنصف: يعامد الضلع وينصفه، ولا يشترط مروره بالرأس.

الارتفاع هو القيمة المستخدمة مباشرة في قانون حساب مساحة المثلث الشهير: $A = \frac{1}{2} \times b \times h$.

في المثلث منفرج الزاوية، نظراً لأن إحدى زوايا المثلث منفرجة، فإن المستقيمات التي تحوي هذه الارتفاعات تتقاطع في نقطة تقع خارج المثلث تماماً.

بموجب نظرية مركز المثلث، $AP = \frac{2}{3} AD$. إذا كان $AP = 10\text{ m}$، فإن $10 = \frac{2}{3} AD$. بضرب الطرفين في $\frac{3}{2}$، نحصل على $AD = 10 \times \frac{3}{2} = 15\text{ m}$.