أسئلة: أساسيات المنطق الرياضي للصف الأول الثانوي

العبارة المنطقية هي أي جملة يمكن الحكم عليها بأنها إما صحيحة تمامًا أو خاطئة تمامًا، ولا يمكن أن تكون كلاهما في نفس الوقت. الجمل الأخرى هي أسئلة أو أوامر أو تعجب ولا يمكن تحديد قيمة صواب لها.

النفي هو أداة منطقية بسيطة تعكس قيمة صواب العبارة الأصلية. إذا كانت العبارة $p$ صحيحة، فإن نفيها $\sim p$ يكون خاطئًا.

الوصل ($p \wedge q$) يكون صحيحًا فقط إذا كانت كلتا العبارتين المكونتين لها ($p$ و $q$) صحيحتين معًا.

الفصل ($p \vee q$) يكون صحيحًا إذا كانت إحدى العبارتين أو كلاهما صحيحة، وتكون خاطئة فقط في حالة واحدة: إذا كانت كلتا العبارتين خاطئتين.

تكون العبارة الشرطية $p \to q$ خاطئة في حالة واحدة فقط: إذا كانت المقدمة $p$ صحيحة والنتيجة $q$ خاطئة. في جميع الحالات الأخرى، تكون العبارة الشرطية صحيحة.

العبارة الشرطية ومعكوسها الإيجابي متكافئتان منطقيًا دائمًا. المعكوس الإيجابي يتم الحصول عليه بنفي كل من المقدمة والنتيجة بعد تبديلهما، أي $\sim q \to \sim p$.

العبارة ثنائية الشرط تكون صحيحة فقط إذا كانت كلتا العبارتين $p$ و $q$ لهما نفس قيمة الصواب (كلاهما صحيح أو كلاهما خاطئ).

عدد الصفوف في جدول الصواب هو $2^n$ حيث $n$ هو عدد العبارات البسيطة. لـ 3 عبارات، يكون العدد $2^3 = 8$ صفوف.

ترتيب الأولوية هو النفي ($\sim$) أولًا، ثم الوصل ($\wedge$)، ثم الفصل ($\vee$)، وأخيرًا العبارات الشرطية وثنائية الشرط.

من خلال جدول الصواب المقدم في الدرس، نلاحظ أن العبارة المركبة $\sim (p \vee q) \wedge p$ تكون خاطئة دائمًا بغض النظر عن قيم صواب $p$ و $q$. وتُسمى مثل هذه العبارة "تناقض" (Contradiction).

المعكوس يتم الحصول عليه بنفي كل من المقدمة والنتيجة. إذا كانت العبارة الأصلية هي $p \to q$, فإن معكوسها هو $\sim p \to \sim q$.

النص يذكر بوضوح أن "العكس والمعكوس متكافئان منطقيًا دائمًا".