أسئلة: متباينات المثلث: العلاقة بين الأضلاع والزوايا

تنص متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث، وليس أكبر من أو يساوي.

وفقًا لمتباينة المثلث، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث. في الخيار (ب)، $5 + 5 = 10$, وهو ليس أكبر من 10، وبالتالي لا يمكن تشكيل مثلث.

تنص متباينة الزاوية-الضلع على أن الزاوية المقابلة للضلع الأطول تكون أكبر من الزاوية المقابلة للضلع الأقصر. الضلع $AB$ يقابله الزاوية $C$، والضلع $BC$ يقابله الزاوية $A$.

هذه هي نظرية الزاوية الخارجية، والنص يذكرها: 'نتذكر نظرية الزاوية الخارجية التي تنص على أن قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها'.

تنص متباينة الزاوية الخارجية على أن قياس الزاوية الخارجية أكبر من قياس أي من الزاويتين الداخليتين البعيدتين. الزاويتان البعيدتان هما $\angle A$ و $\angle B$.

لتحديد مدى طول الضلع الثالث $x$، نطبق متباينة المثلث: $7 + 12 > x \implies 19 > x$ و $7 + x > 12 \implies x > 5$. بدمج المتباينتين نحصل على $5 < x < 19$.

يذكر النص في الملاحظات أن الخطأ الشائع هو نسيان التحقق من جميع شروط متباينة المثلث الثلاثة، ويجب دائمًا التأكد من أن مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث.

أولاً نجد $m\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 85^\circ) = 55^\circ$. ترتيب الزوايا من الأصغر للأكبر هو $m\angle A (40^\circ) < m\angle C (55^\circ) < m\angle B (85^\circ)$. باستخدام متباينة الضلع-الزاوية، الضلع المقابل للزاوية الأصغر هو الأقصر، وهكذا. الضلع المقابل لـ $A$ هو $BC$. الضلع المقابل لـ $C$ هو $AB$. الضلع المقابل لـ $B$ هو $AC$. إذن الترتيب هو $BC < AB < AC$.

لا يمكن للمثلث أن يحتوي على أكثر من زاوية منفرجة واحدة أو زاوية قائمة واحدة، فلو وُجدت زاويتان قائمتان، لتجاوز مجموع قياساتهما $180^\circ$.

تُعرف الزاوية الخارجية بأنها الزاوية المتشكلة عند تمديد أحد أضلاع المثلث.

النص يوضح أن هذه المتباينات تُعد أدوات عملية لتحديد المدى الممكن لقيم مجهولة في مثلث، وهو أمر ذو قيمة تطبيقية كبيرة في مجالات مثل المساحة والتصميم.

تنص متباينة الضلع-الزاوية على أن الضلع المقابل للزاوية الأكبر يكون أطول من الضلع المقابل للزاوية الأصغر. الضلع المقابل لـ $m\angle X$ هو $YZ$. الضلع المقابل لـ $m\angle Y$ هو $XZ$.