أسئلة: التمدد في الهندسة الإحداثية

ذكر الدرس أن التمدد الذي مركزه نقطة الأصل $(0,0)$ يُعطى بضرب كل من الإحداثي السيني والصادي في معامل التمدد، أي $P'(x',y') = (kx, ky)$.

يوضح الدرس أن حالة التطابق (Identity) تحدث عندما يكون $|k| = 1$، وفي هذه الحالة لا يغير التمدد حجم الشكل ويظل الشكل الأصلي هو نفسه الصورة.

مساحة المستطيل الأصلي هي 6 وحدات مربعة. بما أن المساحة تتغير بمعامل $k^2$، فإن المساحة الجديدة هي $6 \times 2^2 = 6 \times 4 = 24$ وحدة مربعة.

أشار الدرس صراحة إلى أن التمدد يحافظ على قياس الزوايا، حيث تظل الزوايا الداخلية للشكل الأصلي متطابقة تمامًا مع الزوايا المناظرة لها في الصورة المتمددة.

الخطوة الأولى المذكورة في الدرس هي إزاحة الشكل بحيث يصبح مركز التمدد هو نقطة الأصل، ويتم ذلك بطرح إحداثيات مركز التمدد $(a,b)$ من إحداثيات كل نقطة.

يذكر الدرس أن التمدد السالب ($k < 0$) يتضمن انعكاسًا حول مركز التمدد، مما يعني أن الصورة ستظهر على الجانب الآخر من مركز التمدد مع دوران 180 درجة.

بتطبيق الخطوات: الإزاحة تعطي $(10-2, 20-4) = (8, 16)$، التمدد يعطي $(0.5 \times 8, 0.5 \times 16) = (4, 8)$، وإعادة الإزاحة تعطي $(4+2, 8+4) = (6, 12)$.

أوضح الدرس في الملاحظات أن التمدد هو تحويل تشابهي يغير الحجم، على عكس الإزاحة والدوران والانعكاس التي هي تحويلات تطابقية تحافظ على الحجم.

عرّف الدرس معامل التمدد رياضيًا بأنه النسبة بين المسافة من مركز التمدد إلى أي نقطة في الصورة ($CP'$) والمسافة من مركز التمدد إلى النقطة المناظرة لها في الأصل ($CP$).

ذكر الدرس أن التمدد يحافظ على التوازي، مما يعني أن القطع المستقيمة المتوازية في الأصل ستظل صورتيها متوازيتين بعد التمدد.

حدد الدرس أن التصغير (Reduction) يحدث عندما يكون $0 < |k| < 1$. بما أن $0.5$ يقع ضمن هذا المدى، فإن التحويل هو تصغير.

أوضح الدرس أنه عند مركز آخر $(a,b)$، نحتاج إلى اتباع خطوات إزاحة (طرح المركز، ضرب في $k$، ثم إضافة المركز) للحصول على الصيغة $(k(x-a)+a, k(y-b)+b$).

ذكر الدرس أن مساحة الصورة المتمددة هي $k^2$ مرة مساحة الشكل الأصلي، على عكس الأطوال التي تتغير بمعامل $|k|$.