قطع مستقيمة خاصة في الدائرة: الأوتار، القواطع والمماسات

المحتوى الرئيسي

تُعد الدائرة من الأشكال الهندسية الأساسية التي تحمل في طياتها العديد من العلاقات المثيرة للاهتمام، خاصةً عندما تتعلق بتقاطع القطع المستقيمة بها أو حولها. يتناول هذا الدرس ثلاث نظريات محورية تركز على الأطوال الناتجة عن تقاطع الأوتار والقواطع والمماسات، وهي علاقات أساسية في الهندسة المستوية تُمكننا من حل العديد من المسائل الهندسية المعقدة.

نظرية الأجزاء الناتجة عن تقاطع وترين داخل الدائرة

الوتر في الدائرة هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة. عندما يتقاطع وتران داخل الدائرة، فإنهما يقسمان بعضهما البعض إلى أجزاء. هذه النظرية تُقدم علاقة بسيطة لكنها قوية بين أطوال هذه الأجزاء. تنص النظرية على أنه إذا تقاطع وتران داخل دائرة، فإن حاصل ضرب جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزأي الوتر الثاني.

لنفترض أن لدينا دائرة، ووترين $AB$ و $CD$ يتقاطعان عند النقطة $E$ داخل الدائرة. الوتر $AB$ ينقسم إلى جزأين هما $AE$ و $EB$، والوتر $CD$ ينقسم إلى جزأين هما $CE$ و $ED$. وفقًا لهذه النظرية، تكون العلاقة بين أطوال هذه الأجزاء كما يلي:

$AE \cdot EB = CE \cdot ED$

هذه العلاقة تُظهر أن نقطة التقاطع $E$ تقسم كل وتر بنسبة معينة، وأن حاصل ضرب الأجزاء الناتجة عن كل وتر متساوٍ. يمكن فهم هذه النظرية بشكل بديهي من خلال تشابه المثلثات. إذا قمنا برسم أوتار إضافية $AC$ و $DB$، سنلاحظ أن المثلثين $ACE$ و $DBE$ متشابهان (بسبب زوايا محيطية مشتركة وزوايا متقابلة بالرأس). من تشابه المثلثات، تكون النسب بين الأضلاع المتناظرة متساوية، مما يؤدي إلى هذه العلاقة الضربيه. على سبيل المثال، إذا كان طول $AE = 4$ وحدات، و $EB = 6$ وحدات، و $CE = 3$ وحدات، فإننا يمكننا إيجاد طول $ED$ باستخدام النظرية: $4 \cdot 6 = 3 \cdot ED \implies 24 = 3 \cdot ED \implies ED = 8$ وحدات. هذه النظرية مفيدة جدًا في حساب الأطوال المجهولة داخل الدائرة.

نظرية الأجزاء الناتجة عن تقاطع قاطعين خارج الدائرة

القاطع هو خط مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين ويمتد خارجها. عندما يتقاطع قاطعان لدائرة من نقطة تقع خارج الدائرة، فإن العلاقة بين أطوال أجزائهما تكون مختلفة عن حالة الأوتار المتقاطعة داخليًا. تنص النظرية على أنه إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول الجزء الخارجي منه يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول الجزء الخارجي منه.

لنفترض أن لدينا نقطة $E$ خارج الدائرة، ورسمنا منها قاطعين للدائرة. القاطع الأول يقطع الدائرة في النقطتين $A$ و $B$ (بحيث $A$ أقرب إلى $E$)، والقاطع الثاني يقطع الدائرة في النقطتين $C$ و $D$ (بحيث $C$ أقرب إلى $E$). الجزء الخارجي من القاطع الأول هو $EA$، وطول القاطع الأول كاملاً هو $EB$. وبالمثل، الجزء الخارجي من القاطع الثاني هو $EC$، وطول القاطع الثاني كاملاً هو $ED$. العلاقة الرياضية لهذه النظرية هي:

$EA \cdot EB = EC \cdot ED$

من الضروري جدًا التفريق بين الجزء الخارجي من القاطع وطول القاطع كاملاً. الجزء الخارجي هو المسافة من النقطة الخارجية إلى أول نقطة يقطع فيها القاطع الدائرة. أما طول القاطع كاملاً فهو المسافة من النقطة الخارجية إلى أبعد نقطة يقطع فيها القاطع الدائرة. هذا التمييز حاسم لتطبيق النظرية بشكل صحيح. مرة أخرى، يمكن استنتاج هذه النظرية من تشابه المثلثات. إذا رسمنا أوتارًا $AD$ و $BC$ داخل الدائرة، سنجد أن المثلثين $EAD$ و $ECB$ متشابهان، مما يؤدي إلى العلاقة المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، إذا كان طول $EA = 3$، و $AB = 5$ (وبالتالي $EB = 3+5=8$)، و $EC = 4$، فإننا نجد $CD$ كالتالي: $3 \cdot 8 = 4 \cdot ED \implies 24 = 4 \cdot ED \implies ED = 6$. وبما أن $ED = EC + CD$، فإن $6 = 4 + CD \implies CD = 2$. يُلاحظ هنا أننا استخدمنا طول القاطع الكلي $EB$ و $ED$ في العلاقة.

نظرية الأجزاء الناتجة عن تقاطع مماس وقاطع خارج الدائرة

تُعد هذه النظرية حالة خاصة من نظرية تقاطع القاطعين، حيث يتحول أحد القاطعين إلى مماس. المماس هو خط مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط. تنص النظرية على أنه إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة تقع خارجها، فإن مربع طول قطعة المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول الجزء الخارجي منه.

لنفترض أن لدينا نقطة $E$ خارج الدائرة. رسمنا منها مماسًا للدائرة يلامسها عند النقطة $A$ (وبالتالي طول قطعة المماس هو $EA$). ورسمنا أيضًا قاطعًا للدائرة يقطعها في النقطتين $C$ و $D$ (بحيث $C$ أقرب إلى $E$). الجزء الخارجي من القاطع هو $EC$، وطول القاطع كاملاً هو $ED$. العلاقة الرياضية لهذه النظرية هي:

$(EA)^2 = EC \cdot ED$

هذه النظرية تربط بين طول المماس وطول القاطع بطريقة مميزة. مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب الجزء الخارجي من القاطع في طول القاطع الكلي. هذا يعني أن طول المماس هو الوسط الهندسي بين الجزء الخارجي للقاطع وطول القاطع بأكمله. يمكن أيضًا برهنة هذه النظرية باستخدام تشابه المثلثات. إذا رسمنا وترين $AC$ و $AD$، سنجد أن المثلثين $EAC$ و $EDA$ متشابهان. على سبيل المثال، إذا كان طول المماس $EA = 6$، والجزء الخارجي من القاطع $EC = 4$، فإننا نجد طول القاطع الكلي $ED$ كالتالي: $(6)^2 = 4 \cdot ED \implies 36 = 4 \cdot ED \implies ED = 9$. وبما أن $ED = EC + CD$، فإن $9 = 4 + CD \implies CD = 5$. هذه النظرية لها تطبيقات واسعة في حساب أطوال المماسات أو أجزاء القواطع في المسائل الهندسية.

العلاقة بين مماسين مرسومين من نقطة خارجية

على الرغم من أن هذه العلاقة غالبًا ما تُدرس في سياقات سابقة، إلا أنها تُعتبر أيضًا من القطع المستقيمة الخاصة التي تنشأ من نقطة خارج الدائرة. تنص هذه النظرية على أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج دائرة تكونان متطابقتين (أي متساويتين في الطول).

إذا كانت النقطة $P$ تقع خارج الدائرة، ورسمنا منها مماسين للدائرة يلامسانها عند النقطتين $A$ و $B$ على الترتيب، فإن القطعة المستقيمة $PA$ تطابق القطعة المستقيمة $PB$. أي أن:

$PA = PB$

هذه النظرية بسيطة لكنها أساسية وتُستخدم كثيرًا في حل المسائل التي تتضمن مماسات الدائرة من نقطة خارجية. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مثلث يحيط بدائرة (أي أن أضلاع المثلث هي مماسات للدائرة)، فإن أطوال أجزاء الأضلاع من رؤوس المثلث إلى نقاط التماس تكون متساوية أزواجًا. هذه العلاقة تُسهل حساب محيطات الأشكال التي تحيط بالدوائر أو التي تمسها الدائرة من الداخل.

تطبيقات وأمثلة

مثال: في مدينة الرياض، تم تصميم نافورة دائرية الشكل. يمر عبر هذه النافورة ممران مستقيمان يتقاطعان داخلها. إذا كان طول الجزء الأول من الممر الأول $5$ أمتار، والجزء الثاني $12$ مترًا. وكان طول الجزء الأول من الممر الثاني $8$ أمتار، فما هو طول الجزء الثاني من الممر الثاني؟

الحل:

1. تحديد المعطيات: لدينا وتران (الممران) يتقاطعان داخل الدائرة (النافورة). لنفترض أن الممر الأول هو $AB$ والممر الثاني هو $CD$، ونقطة تقاطعهما هي $E$.

   • الجزء الأول من الممر الأول ($AE$) = $5$ أمتار.
   • الجزء الثاني من الممر الأول ($EB$) = $12$ مترًا.
   • الجزء الأول من الممر الثاني ($CE$) = $8$ أمتار.
   • المطلوب هو طول الجزء الثاني من الممر الثاني ($ED$).

2. تطبيق النظرية المناسبة: بما أن الوترين يتقاطعان داخل الدائرة، نستخدم نظرية الأجزاء الناتجة عن تقاطع وترين داخل الدائرة، والتي تنص على أن حاصل ضرب جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزأي الوتر الثاني: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.

3. التعويض في المعادلة: $5 \cdot 12 = 8 \cdot ED$

4. إجراء العمليات الحسابية: $60 = 8 \cdot ED$

5. حل المعادلة لإيجاد $ED$: $ED = \frac{60}{8}$ $ED = 7.5$

إذن، طول الجزء الثاني من الممر الثاني هو $7.5$ أمتار.

مثال إضافي (قاطع ومماس): من نقطة $P$ خارج دائرة، رسم مماس $PA$ طوله $10$ سم، وقاطع $PBC$ يقطع الدائرة عند $B$ و $C$. إذا كان طول الجزء الخارجي من القاطع $PB = 5$ سم، فما هو طول القاطع كاملاً $PC$؟ وما هو طول الوتر $BC$؟

الحل:

1. تحديد المعطيات: لدينا مماس $PA = 10$ سم، وقاطع $PBC$ حيث $PB = 5$ سم. النقطة $P$ خارج الدائرة.
2. تطبيق نظرية المماس والقاطع: مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول الجزء الخارجي منه: $(PA)^2 = PB \cdot PC$.
3. التعويض في المعادلة: $(10)^2 = 5 \cdot PC$ $100 = 5 \cdot PC$
4. حل المعادلة لإيجاد $PC$: $PC = \frac{100}{5}$ $PC = 20$ سم. إذن، طول القاطع كاملاً $PC$ هو $20$ سم.
5. حساب طول الوتر $BC$: نعلم أن $PC = PB + BC$. بالتعويض بالقيم المعروفة: $20 = 5 + BC$ $BC = 20 - 5$ $BC = 15$ سم. إذن، طول الوتر $BC$ هو $15$ سم.

ملاحظات

• التمييز بين الأجزاء: من الأخطاء الشائعة عدم التمييز بين الجزء الخارجي للقاطع وطول القاطع كاملاً. في نظريتي القاطعين والمماس والقاطع، يجب دائمًا استخدام طول القاطع الكلي (الجزء الخارجي + الجزء الداخلي) في العلاقة الضربيه، وليس فقط الجزء الداخلي.
• مربع طول المماس: تذكر أن نظرية المماس والقاطع تتضمن تربيع طول المماس. هذا يعني أن المماس هو الوسط الهندسي بين الجزء الخارجي من القاطع وطوله الكلي.
• التحقق من مكان التقاطع: تأكد دائمًا من مكان تقاطع القطع المستقيمة (داخل الدائرة أم خارجها) قبل تطبيق النظرية. كل حالة لها نظرية خاصة بها.
• التركيز على المعنى الهندسي: لا تكتفِ بحفظ المعادلات، بل حاول فهم السبب الهندسي وراء كل نظرية، والذي غالبًا ما يعتمد على تشابه المثلثات. هذا يساعد على ترسيخ الفهم وتجنب الأخطاء.
• وحدات القياس: انتبه دائمًا لوحدات القياس المستخدمة في المسائل وحافظ على اتساقها في جميع خطوات الحل.