قياس الزوايا والأقواس في الدائرة - رياضيات أول ثانوي

المحتوى الرئيسي

تُعد الهندسة الدائرية من الفروع الأساسية في مرحلة التعليم الثانوي، حيث ترتبط تطبيقاتها بالحركة الدائرية والتصاميم الهندسية والفلك. يركز هذا الدرس على تقديم صياغة رياضية دقيقة لقياسات الزوايا التي يقع رأسها عند المركز، وكيفية تقييم الأقواس المقطوعة وتحديد أطوالها الفعلية.

1. الزاوية المركزية ومجموع الزوايا المركزية

تُعرف الزاوية المركزية (Central Angle) في الدائرة بأنها زاوية يقع رأسها عند مركز الدائرة، ويمتد ضلاعاها ليمثلا نصفَي قطرين يقطعان محيط الدائرة.

على سبيل المثال، في الدائرة التي مركزها $O$، إذا امتد نصف القطر $\overline{OA}$ ونصف القطر $\overline{OB}$ إلى محيط الدائرة، فإن الزاوية $\angle AOB$ تُعتبر زاوية مركزية رأسها $O$.

نظرية مجموع الزوايا المركزية

تنص إحدى الخصائص التأسيسية في الدائرة على أن مجموع قياسات الزوايا المركزية في أي دائرة، بشرط ألا تشترك في نقاط داخلية (أي أنها زوايا متجاورة ترسم دوان متكاملة حول المركز)، يساوي دائماً $360^\circ$.

يمكن التعبير عن هذه النظرية بالصيغة الرياضية التالية: $\sum m\angle = 360^\circ$

تُستخدم هذه العلاقة المباشرة لإيجاد قياس زاوية مركزية مجهولة عندما تكون باقي الزوايا حول المركز معروفة، وذلك بطرح مجموع الزوايا المعلومة من $360^\circ$.

2. تعريف الأقواس وتصنيفها

القوس (Arc) هو جزء محدد من منحنى الدائرة يربط بين نقطتين على المحيط. تُسمى هاتان النقطتان “طرفي القوس”. ويتم تصنيف الأقواس بناءً على قياس الزاوية المركزية المقابلة لها إلى ثلاثة أنواع رئيسية:

أ) القوس الأصغر (Minor Arc)

هو القوس الذي يصل بين نقطتين على الدائرة ويكون قياسه الزاوي أقل من $180^\circ$.

• القياس: قياس القوس الأصغر يساوي مباشرة قياس زاويته المركزية المقابلة. إذا كان قياس الزاوية المركزية $\angle AOB = 80^\circ$، فإن قياس القوس الأصغر $\widehat{AB}$ يُكتب: $m\widehat{AB} = 80^\circ$.
• التسمية: يُسمّى عادة باستعمال حرفي نقطتي بدايته ونهايته، مثل $\widehat{AB}$.

ب) القوس الأكبر (Major Arc)

هو القوس الذي يصل بين نقطتين على الدائرة ويتجاوز قياسه الزاوي $180^\circ$.

• القياس: يُحسب قياس القوس الأكبر بطرح قياس القوس الأصغر المقابل له من $360^\circ$: $m\widehat{ACB} = 360^\circ - m\widehat{AB}$
• التسمية: لتجنب الالتباس مع القوس الأصغر الواقع بين النقطتين نفسيهما، يُسمى القوس الأكبر باستعمال ثلاثة حروف؛ الحرف الأول والأخير يمثلان الطرفين، والحرف الأوسط يمثل نقطة تقع على القوس الأكبر، مثل $\widehat{ACB}$.

ج) نصف الدائرة (Semicircle)

هو قوس تقع نقطتا طرفيه على نهايتي قطر في الدائرة، مما ينصف الدائرة إلى جزءين متطابقين تماماً.

• القياس: قياس نصف الدائرة يساوي $180^\circ$ بصفة دائمة، لأن القطر يشكل زاوية مستقيمة عند المركز مقدارها $180^\circ$.
• التسمية: يُسمى بثلاثة حروف للتأكيد على الاتجاه المحدد لنصف الدائرة المطلوب، مثل $\widehat{XYZ}$.

3. الأقواس المتجاورة ومسلمة جمع الأقواس

تكون الأقواس متجاورة (Adjacent Arcs) في الدائرة إذا كانت تشترك في نقطة واحدة فقط على المحيط، دون أن تتداخل أي من نقاطها الداخلية الأخرى.

مسلمة جمع الأقواس (Arc Addition Postulate)

تنص مسلمة جمع الأقواس على أنه إذا كانت النقطة $B$ تقع على القوس $\widehat{AC}$ بحيث تُشكل القوسين المتجاورين $\widehat{AB}$ و $\widehat{BC}$، فإن قياس القوس الكلي الناتج عن اتحادهما يساوي مجموع قياسَي القوسين المتجاورين: $m\widehat{ABC} = m\widehat{AB} + m\widehat{BC}$

تُتيح لنا هذه المسلمة حساب قياسات الأقواس المركبة عبر تجزئتها إلى أقواس فرعية أسهل حاسوبياً.

4. تطابق الأقواس والعلاقة مع الزوايا المركزية

تكون الأقواس متطابقة (Congruent Arcs) إذا كانت لها القياسات نفسها بالدرجات وكانت واقعة في الدائرة نفسها أو في دوائر متطابقة (أي دوائر متساوية في نصف القطر).

نظرية الأقواس والزوايا المركزية المتطابقة

في الدائرة نفسها أو في دوائر متطابقة:

1. تتطابق الزوايا المركزية إذا وفقط إذا تطابقت الأقواس المقابلة لها.
2. إذا كان $m\angle AOB = m\angle COD$ فإن $m\widehat{AB} = m\widehat{CD}$ والعكس صحيح.

من الضروري التنبيه إلى أن تساوي قياس قوسين بالدرجات لا يعني تطابقهما في الطول إلا إذا كانت أقطار الدوائر التي تحويهما متساوية؛ فقوس قياسه $60^\circ$ في دائرة صغيرة يكون أصغر طولاً من قوس قياسه $60^\circ$ في دائرة ضخمة.

5. صيغة حساب طول القوس (Arc Length)

يتطلب الاستيعاب الهندسي التمييز التام بين قياس القوس (المقاس بالدرجات $^\circ$) و طول القوس (المقاس بوحدات الطول مثل $cm$ أو $m$).

طول القوس $l$ هو جزء من محيط الدائرة الكلي $C = 2\pi r$. وبما أن الدائرة الكاملة تعادل $360^\circ$، فإن نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة تساوي نسبة قياس القوس الزاوي $x^\circ$ إلى $360^\circ$.

صيغة التناسب الأساسية: $\frac{l}{2\pi r} = \frac{x}{360}$

وعليه يُحسب طول القوس $l$ باستخدام القانون المباشر: $l = \frac{x}{360} \cdot 2\pi r$

حيث:

• $l$: طول القوس بوحدات الطول.
• $x$: قياس القوس بالدرجات (أو قياس الزاوية المركزية المقابلة).
• $r$: طول نصف قطر الدائرة.
• $\pi$: الثابت الرياضي (باي) وتُعوض بقيمتها التقريبية $3.14$ أو $\frac{22}{7}$.

تطبيقات وأمثلة

مثال تطبيقي محلول من واقع الحياة (ميدان دائر بالرياض)

في مشروع لتطوير أحد الميادين الدائرية في مدينة الرياض، تم وضع مجسم جمالي في مركز الميدان ونُظمت حركة السير بحيويّة. إذا كان نصف قطر الميدان الدائري $r = 15 \text{ متراً}$، وتغطي منطقة المشاة الملونة زاوية مركزية قياسها $x = 120^\circ$ عند المركز.

المطلوب إيجاد ما يلي:

1. نوع القوس الذي تمثله منطقة المشاة.
2. قياس القوس الأكبر المكمل للميدان.
3. طول قوس منطقة المشاة بالأمتار (باستخدام $\pi \approx 3.14$).

---

خطوات الحل التفصيلية:

الخطوة الأولى: تحديد نوع القوس بما أن قياس الزاوية المركزية يساوي $120^\circ$، وهي قيمة أصغر من $180^\circ$ وأكبر من $0^\circ$، فإن القوس الممثل لمنطقة المشاة هو قوس أصغر.

الخطوة الثانية: حساب قياس القوس الأكبر المكمل قياس القوس الأكبر المكمل يُحسب بطرح قياس القوس الأصغر من القياس الكلي للدائرة ($360^\circ$): $m\text{(القوس الأكبر)} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$

الخطوة الثالثة: حساب طول القوس نعوض المعطيات في قانون طول القوس:

• $r = 15 \text{ م}$
• $x = 120^\circ$
• $\pi \approx 3.14$

$l = \frac{x}{360} \cdot 2\pi r$ $l = \frac{120}{360} \cdot 2 \cdot 3.14 \cdot 15$

نختصر الكسر $\frac{120}{360}$ إلى $\frac{1}{3}$: $l = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 3.14 \cdot 15$

نبسط الضرب بين $\frac{1}{3}$ و $15$ ليكون الناتج $5$: $l = 5 \cdot 2 \cdot 3.14$ $l = 10 \cdot 3.14 = 31.4 \text{ متراً}$

النتيجة: طول قوس منطقة المشاة على محيط الميدان الدائري يساوي $31.4 \text{ متراً}$ تقريباً.

ملاحظات

• خطأ شائع في التسمية: يقع كثير من الطلاب في خطأ استخدام حرفين فقط لتسمية القوس الأكبر. تذكر دائماً أن التسمية بحرفين تعبر حكراً عن القوس الأصغر، بينما يجب استخدام ثلاثة حروف لتسمية القوس الأكبر أو نصف الدائرة تحديداً للاتجاه.
• الفرق بين القطر ونصف القطر: عند التعويض في صيغة طول القوس $l = \frac{x}{360} \cdot 2\pi r$، تأكد من أن القيمة المعطاة في المسألة هي نصف القطر $r$. إذا أُعطي القطر الكامل $d$، اقسمه على $2$ أولاً أو استخدم الصيغة البديلة $l = \frac{x}{360} \cdot \pi d$.
• العلاقة الطردية بين طول القوس ونصف القطر: قياس القوس بالدرجات لا يتغير بتغير حجم الدائرة، بينما طول القوس يزداد ويقل طردياً مع تغير نصف قطر الدائرة $r$.
• إرساء وحدات القياس الصحيحة: انتبه لوضع وحدة الدرجة ($^\circ$) عند كتابة قياس القوس، ووضع وحدات الطول المترية ($cm, m$) عند إيجاد طول القوس لتجنب الخلط في التحليل الهندسي.